Estimación de pi(π) mediante dardos.

Introducción a la Problemática

Imagine que desea lanzar un conjunto de n dardos sobre un tablero circular de diámetro d. Asimismo, suponga que dicho tablero se encuentra montado (de la misma manera en la que se muestra en la subsecuente imagen) sobre una plataforma cuadrada cuyos lados l poseen la misma medida que el diámetro d ya mencionado. Más aún, figúrese que por alguna extraña e inexplicable razón usted desea calcular el número Pi(π) por medio de la ubicación donde se posen los dardos después de ser arrojados. Considerando que todos los dardos siempre se asientan dentro de la plataforma cuadrática( y dentro o fuera la diana ), ¿Cómo procedería usted a calcular  la constante matemática?

circulo

De principio, se tiene mucha información muy esencial a la mano,  como por ejemplo, las ecuaciones para computar las áreas tanto de la plataforma cuadrática como la del tablero:ecuaciones12De las medidas mencionadas en el párrafo introductorio y la ecuación 2 se puede deducir que:

ecuaciones34
Asímismo, a partir de la formulas 1 y 4, se puede decir que:

ecuaciones5Hasta este punto, pudiera parecer que el problema no tiene solución ya que no se cuenta con las áreas requeridas para computar la ecuación número 5.  No obstante, se debe recordar que el área de una figura geométrica puede describirse como el espacio que queda encerrado entre los límites de una figura, o, en el presente contexto, como el número de dardos que quedan encerrados entre los límites de una figura. Dicho esto, la fórmula para calcular Pi(π),  puede ser reescrita como:

ecuaciones6

¿Dentro o fuera de la diana?

De lo esclarecido en el primer y último párrafo de la primera sección , se puede inferir que el área de la plataforma cuadrada es igual al número total de dardos lanzados. Sin embargo ¿De qué manera podrían identificarse un dardo que dio en la diana de uno que no lo hizo? La respuesta reside en el radio de la diana.

De este modo, si la Distancia Euclidiana entre el centro de diana y un dardo es menor que la longitud del radio, entonces este se encuentra posicionado dentro del tablero. En caso contrario, el dardo está situado en la plataforma.

ecuaciones7

Exactitud de Pi(π) y Código Fuente.

La siguiente figura expone una simulación de  ocho grupos de dardos lanzados a una diana de diametro 1, cuyo centro esta situado en la coordenada (0,0) de un plano cartesiano. Dicha simulación pudo ser llevada a cabo a partir de la generación de n puntos por medio de una Distribución Uniforme Continua de 0 a 1. Más aún, tal y como se puede apreciar en la imágen, entre mayor sea el número de puntos producidos, mejor se podrá distinguir el círculo que representa al tablero. El código fuente para ejecutar la simulación puede ser descargado desde aquí.

dardos

Por último, de la siguiente gráfica, se puede concluir que a mayor número de dardos lanzados, menor será el error relativo del cálculo de Pi(π). El código para erigir la siguiente gráfica puede ser descargado de aquí.

error-dardos

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